الجبر الخطي الأمثلة

$3 x + 2 y + z = 1$ $5 x + 3 y + 4 z = 2$ $x + y - z = 1$

خطوة 1

اكتب السلسلة في صورة مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $\frac{1}{3}$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

اضرب كل عنصر من $R_{1}$ في $\frac{1}{3}$ لجعل الإدخال في $1, 1$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.1.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 5 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.2

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ لجعل الإدخال في $2, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 5 - 5 \cdot 1 & 3 - 5 (\frac{2}{3}) & 4 - 5 (\frac{1}{3}) & 2 - 5 (\frac{1}{3}) \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.2.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.3

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ لجعل الإدخال في $3, 1$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} \\ 1 - 1 & 1 - \frac{2}{3} & - 1 - \frac{1}{3} & 1 - \frac{1}{3} \end{array}]$

خطوة 2.3.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & - \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.4

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $- 3$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اضرب كل عنصر من $R_{2}$ في $- 3$ لجعل الإدخال في $2, 2$ يساوي $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ - 3 \cdot 0 & - 3 (- \frac{1}{3}) & - 3 (\frac{7}{3}) & - 3 (\frac{1}{3}) \\ 0 & \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - 7 & - 1 \\ 0 & \frac{1}{3} & - \frac{4}{3} & \frac{2}{3} \end{array}]$

خطوة 2.5

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ لجعل الإدخال في $3, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

احسب العملية الصفية $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ لجعل الإدخال في $3, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - 7 & - 1 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & - \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 7 & \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1 \end{array}]$

خطوة 2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - 7 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.6

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} + 7 R_{3}$ لجعل الإدخال في $2, 3$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

احسب العملية الصفية $R_{2} = R_{2} + 7 R_{3}$ لجعل الإدخال في $2, 3$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 + 7 \cdot 0 & 1 + 7 \cdot 0 & - 7 + 7 \cdot 1 & - 1 + 7 \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.6.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.7

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{3}$ لجعل الإدخال في $1, 3$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{3} R_{3}$ لجعل الإدخال في $1, 3$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.7.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.8

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

احسب العملية الصفية $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ لجعل الإدخال في $1, 2$ يساوي $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 6 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحل النهائي لنظام المعادلات.

$x = - 4$

$y = 6$

$z = 1$

خطوة 4

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(- 4, 6, 1)$